Úloha 1: Gravitačné pole v okolí Zeme

1. Skúste overiť výpočtom, či pôsobí gravitačná sila aj v  stave beztiaže. V  kozmickom priestore sa v stave beztiaže blízko Zeme nachádza medzinárodná vesmírna stanica ISS, ďalej od Zeme sa nachádzajú geostacionárne družice (sú stále nad rovnakým miestom zemského povrchu), ešte ďalej je Mesiac. V akej vzdialenosti vymizne príťažlivá gravitačná sila Zeme?

2. Vo výške h nad povrchom guľového telesa (Zeme) s hmotnosťou MZ a polomerom RZ pôsobí na teleso s hmotnosťou m gravitačná sila

Spočítajte a porovnajte gravitačnú silu pôsobiacu na teleso s hmotnosťou 1 kg:

– na povrchu Zeme,
– vo výške 400 km, v ktorej sa pohybuje medzinárodná vesmírna stanica ISS,
– vo výške 35 800 km, v ktorej sa pohybujú geostacionárne družice,
– vo vzdialenosti Mesiaca, čo je 380 tisíc km.

3. Ďalej zostrojte graf závislosti tejto gravitačnej sily na vzdialenosti od povrchu Zeme od 0 km do 40 000 km. Využite pripravenú tabuľku so vzdialenosťami po 2 000 km. (Graf je možné vytvoriť tiež v aplikácii MS Excel alebo v podobnej.) Odhadnite podľa grafu, v akej vzdialenosti bude gravitačná sila Zeme nulová.

4. ISS sa pohybuje na nízkej obežnej dráhe 400 km nad povrchom Zeme. O koľko percent je tam gravitačná sila menšia ako na povrchu? Prečo na ISS kozmonauti nepociťujú pôsobenie gravitačnej sily? Načrtnite obrázok trajektórie ISS v mierke 1: 100 000 000 (polomer Zeme bude 6,4 cm, vzdialenosť trajektórie ISS od povrchu Zeme 4 mm).

Cieľ úlohy

Cieľom tejto aktivity je ukázať žiakom, že gravitačná sila Zeme pôsobí do nekonečnej vzdialenosti. Žiaci si musia uvedomiť, že pre existenciu stavu beztiaže nie je vôbec nutné, aby bola gravitačná sila nulová. Typický je príklad nízkej obežnej dráhy a ISS, kde je gravitačná sila iba o 12 % menšia ako na povrchu Zeme.

Metodické poznámky pre učiteľov

■ Výpočet gravitačnej sily nie je zložitý, len pozor na prevody všetkých jednotiek dĺžky na metre.
■ Žiakov je vhodné upozorniť na to, že vypočítaná gravitačná sila pôsobiaca na teleso s hmotnosťou 1 kg na povrchu Zeme je vlastne tzv. konštanta g = 10 N/kg, ktorú poznajú z hodín fyziky.
■ Ak žiaci ovládajú tvorbu grafov v aplikácii MS Excel alebo v inom tabuľkovom procesore, je vhodné, aby túto aplikáciu pre tvorbu grafu využili. Odpadnú tak nudné výpočty.
■ Už v tejto chvíli je potrebné viesť žiakov k úvahe, že gravitačná sila je v stave beztiaže kompenzovaná inou silou – pri obehu okolo Zeme ide o silu odstredivú.
■ Náčrtok trajektórie ISS vedie k predstave, v akej tesnej blízkosti Zeme sa ISS pohybuje. A napriek tomu je na nej stav beztiaže. Zaujímavou poznámkou k náčrtku je porovnanie s výškou najvyšších hôr v tomto meradle (cca 8 km).

Vzorové riešenie

Na povrchu Zeme pôsobí na teleso s hmotnosťou 1 kg gravitačná sila 9,84 N.
Vo výške 400 km pôsobí na teleso s hmotnosťou 1 kg gravitačná sila 8,71 N.
Vo výške 35 800 km pôsobí na teleso s hmotnosťou 1 kg gravitačná sila 0,199 N.
Vo vzdialenosti 380 000 km pôsobí na teleso s hmotnosťou 1 kg gravitačná sila 0,0027 N.
Ako vzor zostrojenia grafu závislosti gravitačnej sily od vzdialenosti od povrchu Zeme uvádzame spracovanie aplikáciou MS Excel, pozri obrázok.


Krivka v grafe sa stále približuje k osi x (asymptoticky), ale nikdy sa jej nedotkne. Preto nikdy, v žiadnej vzdialenosti od Zeme nebude gravitačná sila nulová. V istej vzdialenosti bude samozrejme tak malá, že bude zanedbateľná v porovnaní s pôsobením iných bližších telies.

Vo výške 400 km nad povrchom Zeme je gravitačná sila iba o 12 % menšia ako na povrchu Zeme. Kozmonauti sa nachádzajú v stave beztiaže, pretože je gravitačná sila pôsobiaca na nich aj na stanicu vykompenzovaná odstredivou silou, ktorá na nich pôsobí, pretože sa pohybujú okolo Zeme po približne kruhovej trajektórii.

Údaje pre náčrtok sú uvedené v zadaní. Polomer Zeme 64 mm, vzdialenosť ISS od povrchu 4 mm (polomer trajektórie ISS 68 mm).

Pokyny na prispôsobenie pre žiakov so ŠVVP

Žiaci s poruchami

Žiakom s poruchami učenia môže veľkosti gravitačnej sily vypočítať vyučujúci a žiaci ich len porovnajú medzi sebou, napr. určia, že vo vzdialenosti geostacionárnej družice je gravitačná sila 50-krát menšia. Prípadne môžu z vopred pripraveného grafu odčítať, v akej vzdialenosti je sila polovičná ako na povrchu atď. Dôležitý je záver, že sila so vzdialenosťou klesá, ale nikde nie je nulová.


Nadaní žiaci

Nadaní žiaci môžu početne riešiť opačnú úlohu typu – v akej vzdialenosti je gravitačná sila polovičná, v akej je desaťkrát menšia než na povrchu Zeme a pod. Náčrtok trajektórie ISS je možné využiť na všeobecnejšie úvahy o vzdialenosti. V akej vzdialenosti budú geostacionárne družice, v akej vzdialenosti bude v tejto mierke Mesiac (Slnko).