Задача 4: Извънземно и човек

Комета обикаля около Слънцето. Нейният перихелий е на разстояние  а афелият е на разстояние  вж. Фиг. 2. 

Определете:

a) голямата и малката полуоси, линейния ексцентрицитет и числения ексцентрицитет, 

б) периода на кометата,

в) колко пъти скоростта на кометата е по-голяма в перихелия в сравнение с афелия.

Решение:

От геометрията на елипсата получаваме: ,  , . .Орбитата на кометата (предсказуемо) е много ексцентрична. 

б) Третият закон на Кеплер ще запишем като  където aʹ е в астрономически единици, Tʹ е в години, а М’ е в слънчеви маси. Тъй като ние се занимаваме с движението на комета в Слънчевата система, то автоматично се изпълнява 

Mʹ = 1. Следователно .  Както знаем, при дадената формулировка на закона всички величини са безразмерни. Числовата стойност показва колко пъти периодът е по-голям от периода на въртене на Земята около Слънцето (т.е. колко пъти периодът е по-голям от една година). Следователно, периодът е .

Възможно е да се използва и друго (но разбира се еквивалентно) изписване на Третия закон на Кеплер. Ако работим в SI системата, ще запишем Третия закон на Кеплер така: . 

Знаем масата на Слънцето, която е, гравитационната константа е  а голямата полуос е .

От Третия закон на Кеплер изразяваме периода: 

в) От Втория закон на Кеплер следва .