Цифрата „5“ казва какво се повтаря, а цифрата „4“ - броят на повтарянията. Разбира се, може да се твърди, че това е просто още едно обозначение на цифрата „20“. Ако заместим събирането с умножение, многократното умножаване по едно и също число се записва така:

Това се нарича степенуване, цифрата „5“ е основата на степента, а цифрата „4“ е показателят на степента. Основата на степента ни казва какво се умножава, а показателят колко пъти се умножава. Трябва да осъзнаем това, защото , по-точно .

Използването на този запис може да бъде използвано и за по-сложни изрази:

Друг пример може да бъде:

Това също може да бъде записано като:

И двата начина на записване са равностойни, използват се само различни основи на степенуването.

Заслужава да се отбележи, например, че числото 10 бихме записали като 10¹, т.е 10 = 10¹. Също1 = 10⁰ = 5⁰ = 1,5⁰. Това означава, че в израза на числото 10, съответно 5 и съответно 1,5 то се среща „нула пъти“, т.е. изобщо не присъства.

Разсъждения за избрани свойства на степените

Ще се опитаме да илюстрираме с примери валидността на тези отношения:

където u и v са произволни реални числа, с които учениците биха могли да се срещнат в своето изследване (не искаме да говорим за реални показатели, защото реалните числа не са част от учебната програма на началните училища). 

В горните операции, приемаме, че а > 0. За a < 0 правилата за операции със степени също имат смисъл, но тъй като примерите в случая няма да са от полза, няма да се задълбочаваме допълнително с разглеждането на тази проблематика. 

a) Нека вземем числото 10 000 и се опитаме да го запишем с помощта на степените на числото 10:

Ако се вгледаме в показателите, можем да видим, че показателите на равните степени се събират:

В общия случай, за показатели u и v на основа a, записваме:

б) Нека сега напишем числото 100, използвайки числата 1000 и 10, както и използвайки степенуването с основа 10:

За да се приложи уравнението  , показателите трябва да се извадят: 3 – 1 = 2.

Ето още един пример:

Следователно, за показателите важи: 

В общия случай:

в) Сега ще напишем числото 1 000 000, използвайки степените с основа 10, както и използвайки по-горе изведеното правило a):

За показателите важи: 

В общия случай:  

г) Нека напишем числото 10 като произведене 2 · 5, а после нека го степенуваме и напишем със степените на тези числа:

В общия случай:

Ако въведем , тогава бихме написали горното равенство по следния начин:

Научно записване на числата, използвайки степенуване

В науката записването с помощта на степенуването с основа 10 е широко разпространено. Нека посочим няколко конкретни примера: 

■ средно разстояние между Земята и Слънцето:

■ маса на Земята:

■ гравитационна константа:

Корен, коренуване

Изразът за изписване на числото 100 със степени е  . Корен квадратен на числото 100 бихме нарекли изразът , който е равен на 10. Квадратният корен ни дава отговор на въпроса каква би трябвало да бъде основата на степента, за да можем при показател 2 да получим числото 100.

Ето още примери:

Квадратният корен на 4 е 2 (т.е. ), защото .

Квадратният корен на 25 е 5 (т.е. ), защото .

Квадратният корен на 64 е 8 (т.е. ), защото  .

Кубичният корен на 8 е 2 (т.е. ), защото .

Кубичният корен на 27 е 3 (т.е. ), защото .

Ако степенуваме числото 10 на втора степен, а после вземем корен квадратен от резултата, отново бихме получили 10. Валидно е и обратното:

Съгласно точка г) в част 1.2 получаваме:

Следователно, коренуването може да се изрази и като дробна степен, като числителят е степенният показател, а знаменателят е коренът, например

Затова, предишният пример можем да запишем така:

Следователно, общата формула е следната:

където n и m са реални числа, а основата приемаме за положителна (за по-лесно).

Пример

За даденото равенство трябва да изразим а:

Първо записваме за:

Решението за а се получава като кубичен корен от израза , или: