menu 2 ДВИЖЕНИЕ НА НЕБЕСНИТЕ ТЕЛА
Erasmus+: КД2: Стратегически партньорства в областта на образованието, обучението и младежта

Задача 2: Изчертаване на коничните сечения с помощта на карфици и конец

Цел

Учениците саморъчно да начертаят коничните сечения, като за окръжност и елипса се работи самостоятелно, но параболата е необходимо да се чертае по двойки.

Необходими материали

■ Милиметрова хартия (формат А4)
■ две карфици с по-големи глави (може такива за коркова дъска)
■ подложка, върху която да се постави хартията и в която да могат да се забият карфиците
■ моливи (4 цвята)
■ линия
■ триъгълник
■ два по-дебели конеца, единия с дължина около 35 – 40 cm, другия поне 2 m

Инструкции за учителя

С помощта на горните материали могат последователно да се изчертаят коничните сечения. Могат да се илюстрират сечения с различни параметри като се варират разстоянията между карфиците или дължината на конеца.

Детайлни инструкции за ученика

Как да начертаем окръжност: 

1. Поставяме милиметровата хартия върху картона. 

2. Забиваме карфицата в средата на листа милиметрова хартия. 

3. Сгъваме конец с дължина около 35 – 40 cm на две и го завързваме на възел, така че да получим дължина 15 – 18 cm. 

4. Единия край на конеца поставяме около карфицата, а другия – около молива, както е показано на картинката. 

5. Опъваме добре конеца и започваме да движим молива в кръг около карфицата така, че конеца винаги да е опънат. 

6. Когато направим пълно завъртане около карфицата сме начертали окръжност. 

7. Ако промените дължината на конеца, можете да получите окръжности с различни размери.

Как да начертаем елипса: 

1. Върху милиметровата хартия, по дългата страна на листа, измерваме с линия по 5 cm от двете страни на центъра (където беше забита карфицата от предната задача) и отбелязваме точките с молив.

2. Забиваме по една карфица в тези две точки.

3. Прехвърляме конеца около двете карфици и го опъваме към горния край на листа с помощта на молива както е показано на първата картинка.

     

4. Като държим конеца опънат, местим молива първо наляво, докато той не се изравни с карфицата, после надясно, докато не се изравни с другата карфица. Начертали сме половин елипса (втора картинка). 

5. За да начертаем и другата половина, с молива опъваме конеца към долната част на листа и отново движим молива наляво и надясно. Опъваме добре конеца и започваме да движим молива в кръг около карфицата така, че конеца винаги да е опънат (трета картинка). 

6. Повторете горните стъпки, но като отдалечите карфиците на още по 2 cm от центъра. Използвайте молив с различен цвят. 

7. Върнете карфиците на по 5 cm от центъра, но намалете дължината на конеца с около 1 cm и изчертайте елипса. Използвайте молив с различен цвят. 

Изчертаване на парабола с конец и карфица: 

1. В центъра на лист милиметрова хартия забивате карфица. 

2. Връзвате краищата на конец, дълъг поне 2 m. Единия край на конеца се прехвърля около карфицата. Другия край се държи от вашия съученик, който се е отдалечил дотолкова, че конецът да е почти напълно опънат.

3. Поставете молива от вътрешната страна на конеца, близо до края на листа и опънете конеца. Чертайте към карфицата и от другата и страна до края на листа (вижте картинката). Трябва да сте получили парабола.

Изчертаване на хипербола с конец и карфица

1. Отбележете две точки на лист милиметрова хартия (например на разстояние около 5 cm от двете страни на центъра на листа). Кръстете ги F1 и F2. 

2. Залепете здраво с тиксо единия край на конец с дължина около 10 cm към единия край на измервателна линия. 

3. Към другия край залепете тиксо (перпендикулярно на линията), но така че част от него да стърчи извън нея. 

4. Захванете стърчащото от линията тиксо към F2 с карфица. 

5. Захванете свободния край на конеца с карфица към F1 и разположете линията така, че тя да е над фокуса F1 (както е показано на картинката – панел 1). 

6. Поставяте молива от вътрешната част на конеца и движите молива към края на линията, в който е захванат конеца и после надолу към фокуса ( F1) докато линията не опре в карфицата в F1. Конецът трябва да е винаги опънат (вижте картинката, панел 2 и 3). Изчертали сме половината от едното рамо на хиперболата.


7. Обръщаме линията така (огледално), че единият и край отново да е захванат в F2, но този път от долната страна на F2, а другият (с конеца) – да е отдолу на F1. Повтаряме движенията на молива от т. 6 (показано на панел 4 от картинката) докато не изчертаем и другата половина от това рамо (около фокус F1, виж панел 5).


8. Като обърнем линията така, че да застопорим с карфица края на линията без конец към F1, по начина описан по-горе изчертаваме и другото рамо на хиперболата (около фокус F2, виж панели 6 и 7).

Въпроси (на които учениците трябва да отговорят след приключване на упражнението): 

1. Как се нарича точката, в която поставихте карфицата, за да начертаете окръжността?
О: Център. 

2. Как се наричат точките, в които поставихте карфиците, за да начертаете елипсата?
O: Фокуси на елипсата. 

3. Как се нарича началната точка, от двете страни на която забихте карфиците?
O: Център на елипсата. 

4. Как се нарича правата, която преминава през центъра и двата фокуса на елипсата?
O: Голяма ос на елипсата. 

5. Как се нарича правата, която преминава през центъра и е перпендикулярна на голямата ос?
O: Малка ос на елипсата.

6. Кой параметър на елипсата отчита нейната сплеснатост?
O: Ексцентрицитетът. 

7. Какво се промени и какво не се промени като отдалечихте фокусите от центъра?
O: Елипсата стана по-сплесната (увеличи се ексцентрицитетът), малката ос стана по-къса. Размерът на голямата ос не се промени. 

8. Какво се промени и какво не се промени като скъсихте конеца спрямо първата елипса?
O: Промениха се размерите на двете оси на елипсата. Не се промени ексцентрицитетът.