Cifra „5“ hovorí, čo sa opakuje, a cifra „4“ koľkokrát. Samozrejme, niekto by mohol namietnuť, že . Ide iba o iný zápis čísla 20. Ak by sme sčítanie nahradili násobením, je zvykom opakované násobenie rovnakým číslom písať v podobe:

Výraz sa nazýva mocnina (mocninový výraz), 5 je základ mocniny a 4 exponent mocnín. Mocnina nám hovorí, čo sa násobí, a exponent koľkokrát.

Musíme si uvedomiť , pretože .

Pomocou mocninového zápisu možno skrátiť komplikovanejšie výrazy:

Ďalším príkladom by mohlo byť:

ktoré možno tiež zapísať aj ako:

Oba zápisy sú rovnocenné, len sa použili iné základy mocnín.

Za zmienku stojí napríklad to, že číslo 10 by sme zapísali ako , t. j. . Ďalej  a pod., čo znamená, že sa v uvedenom výraze číslo 10, resp. 5, resp. 1,5 vyskytuje „nulakrát“, t. j. nie je vôbec prítomné.

Úvahy o vybraných vlastnostiach mocnín

Budeme sa snažiť na príkladoch ilustrovať platnosť týchto vzťahov:

kde u, v sú ľubovoľné čísla, s ktorými sa žiaci pri svojom štúdiu mohli stretnúť (nechceme priamo hovoriť o reálnych exponentoch, lebo reálne čísla nie sú súčasťou osnov pre ZŠ). 

Pritom celý čas uvažujeme a > 0. Pre nepárne exponenty dávajú pravidlá pre operácie s mocninami zmysel aj pre a < 0, ale pre párne mocniny už nie. Pretože príklady s a < 0 nebudú pre nás vôbec podstatné, nebudeme tento problém ďalej rozvádzať. 

a) Vezmime číslo 10 000 a pokúsme sa ho rozpísať pomocou mocnín čísla 10:

Ak sa pozrieme na exponenty mocninových výrazov, možno vypozorovať, že exponenty rovnakých mocnín sa sčítajú:

Pre všeobecné exponenty u, v rovnakého základu by sme napísali:

b) Skúsme si teraz rozpísať 100 pomocou podielu 1000 a 10 a zapísať ich pomocou mocnín so základom 10:

Aby platila rovnosť  , musia sa exponenty odčítať: 3 – 1 = 2.

Uveďme ďalší príklad:

Teda pre exponenty platí: 

Všeobecne by sme zapísali: 

c) Na ďalšiu úvahu si rozpíšeme 1 000 000 pomocou mocnín so základom 10 a použime predtým odvodené pravidlo a):

Pre exponenty platí: 

Všeobecne by sme zapísali:  

d) Rozpíšme si číslo 10 ako súčin 2 · 5, umocníme a zapíšeme pomocou mocnín týchto čísel: 

Všeobecne by sme zapísali:

Ak zavedieme , potom by sme upravili vzťah do podoby:

Vedecký zápis čísel pomocou mocnín

Vo vede je zápis pomocou mocnín so základom 10 využívaný vo veľkej miere. Uveďme niekoľko konkrétnych príkladov:

■ stredná vzdialenosť Zeme od Slnka:

■ hmotnosť Zeme:

■ gravitačná konštanta:

Odmocnina

Výraz  je mocninový zápis čísla 100, teda  . Druhou odmocninou čísla 100 by sme nazvali výraz  , ktorý sa rovná 10. Druhá odmocnina nám dáva odpoveď na otázku, aký musel byť základ mocniny, aby sme pri exponente 2 dostali číslo 100.

Uveďme ilustračné príklady:

Druhou odmocninou čísla 4 je 2, , pretože .

Druhou odmocninou čísla 25 je 5, t. j. , pretože .

Druhou odmocninou čísla 64 je 8, t. j. , pretože  .

Treťou odmocninou čísla 8 sú 2, t. j. , pretože .

Treťou odmocninou čísla 27 sú 3, t. j. , pretože .

Ak by sme číslo 10 umocnili na druhú a potom spočítali druhú odmocninu toho čísla, dostali by sme opäť 10. Platí aj opačný výrok, teda:

Podľa výroku d) v podkapitole 1.2 platí:

Teda druhú odmocninu možno stotožniť s mocninou na prevrátenú hodnú čísla dva, teda

Preto predchádzajúci príklad možno zapísať ako:

Po tejto motivácii sformulujeme všeobecný vzorec:

kde sú všeobecne reálne čísla a základ berieme ako kladný (na zjednodušenie).

lustračný príklad

Pre zadanú rovnosť máme vyjadriť:

Úpravou výrazu vyjadríme:

Základ potom dostaneme ako tretiu odmocninu čísla , teda: