Úvod

Keplerove zákony sú tri fyzikálne zákony, ktoré popisujú pohyb planét v slnečnej sústave. Hoci boli zákony Johannesom Keplerom formulované výlučne pre planéty obiehajúce Slnko, sú zákony všeobecnejšie a popisujú pohyb ľubovoľného telesa v centrálnom gravitačnom poli. Príkladom je pohyb družice okolo Zeme alebo kométy okolo Slnka. Isaac Newton o niekoľko desaťročí neskôr ukázal, že Keplerove zákony sú dôsledkom jeho teórie gravitácie a mechaniky. V tomto príspevku budú formulované všetky tri Keplerove zákony a vysvetlený ich význam. 

Skôr než vyslovíme Keplerove zákony, ponoríme sa ešte na chvíľu do histórie. Kľúčovú úlohu pri formulovaní zákonov o pohybe planét zohrali merania dánskeho astronóma Tycha Braheho (1546 – 1601), ktorý vykonal v druhej polovici 16. storočia na svoju dobu veľmi presné astronomické merania polôh planét. Osudom sa stalo, že sa v roku 1599 presunul na dvor cisára Rudolfa II. do Prahy, kde sa stretol a krátku dobu spolupracoval (do svojej smrti v roku 1601) s nemeckým astronómom a matematikom Johannesom Keplerom. Niekedy sa hovorí o stretnutí najväčšieho experimentátora a teoretika svojej doby. Kepler analýzou Braheho dát objavil zákonitosti pohybu planét, ktoré sa na Keplerovu počesť nazývajú Keplerove zákony. 

Existuje nejedna formulácia Keplerových zákonov, ktoré sa líšia svojou všeobecnosťou. Najprv uvedieme najčastejšie formulácie zákonov, ktoré postupne spresníme. 

Na pochopenie niektorých súvislostí bude potrebné trochu matematiky a fyziky, ktorá sa na základnej škole nevyučuje. V tomto texte sa dočkáme rýchleho vysvetlenia mocnín a odmocnín, popíšeme si elipsu a z fyziky sa pozrieme na Newtonov gravitačný zákon a dostredivú silu.

Mocnina a odmocnina

Na úvod definujeme mocninu a budeme pokračovať motivačnými príkladmi, kde spoznáme pravidlá platiace pre prácu s mocninami. Nadviažeme rozprávaním o odmocnine a o jej vzťahu k mocnine. Ilustrujeme, ako s pomocou mocniny zapísať čísla vo vedeckom formáte a prečo sú mocniny a odmocniny vo fyzike dôležité.

Definícia mocniny

Na hodinách matematiky sme si pre zápis súčtu niekoľkých rovnakých čísel zvykli používať násobenie, napríklad:


Cifra „5“ hovorí, čo sa opakuje, a cifra „4“ koľkokrát. Samozrejme, niekto by mohol namietnuť, že . Ide iba o iný zápis čísla 20. Ak by sme sčítanie nahradili násobením, je zvykom opakované násobenie rovnakým číslom písať v podobe:

Výraz sa nazýva mocnina (mocninový výraz), 5 je základ mocniny a 4 exponent mocnín. Mocnina nám hovorí, čo sa násobí, a exponent koľkokrát.

Musíme si uvedomiť , pretože .

Pomocou mocninového zápisu možno skrátiť komplikovanejšie výrazy:

Ďalším príkladom by mohlo byť:

ktoré možno tiež zapísať aj ako:


Oba zápisy sú rovnocenné, len sa použili iné základy mocnín.

Za zmienku stojí napríklad to, že číslo 10 by sme zapísali ako , t. j. . Ďalej  a pod., čo znamená, že sa v uvedenom výraze číslo 10, resp. 5, resp. 1,5 vyskytuje „nulakrát“, t. j. nie je vôbec prítomné.

Úvahy o vybraných vlastnostiach mocnín

Budeme sa snažiť na príkladoch ilustrovať platnosť týchto vzťahov:

kde u, v sú ľubovoľné čísla, s ktorými sa žiaci pri svojom štúdiu mohli stretnúť (nechceme priamo hovoriť o reálnych exponentoch, lebo reálne čísla nie sú súčasťou osnov pre ZŠ). 

Pritom celý čas uvažujeme a > 0. Pre nepárne exponenty dávajú pravidlá pre operácie s mocninami zmysel aj pre a < 0, ale pre párne mocniny už nie. Pretože príklady s a < 0 nebudú pre nás vôbec podstatné, nebudeme tento problém ďalej rozvádzať. 


a) Vezmime číslo 10 000 a pokúsme sa ho rozpísať pomocou mocnín čísla 10:

Ak sa pozrieme na exponenty mocninových výrazov, možno vypozorovať, že exponenty rovnakých mocnín sa sčítajú:

Pre všeobecné exponenty u, v rovnakého základu by sme napísali:


b) Skúsme si teraz rozpísať 100 pomocou podielu 1000 a 10 a zapísať ich pomocou mocnín so základom 10:

Aby platila rovnosť  , musia sa exponenty odčítať: 3 – 1 = 2.

Uveďme ďalší príklad:

Teda pre exponenty platí: 

Všeobecne by sme zapísali: 


c) Na ďalšiu úvahu si rozpíšeme 1 000 000 pomocou mocnín so základom 10 a použime predtým odvodené pravidlo a):

Pre exponenty platí: 

Všeobecne by sme zapísali:  


d) Rozpíšme si číslo 10 ako súčin 2 · 5, umocníme a zapíšeme pomocou mocnín týchto čísel: 

Všeobecne by sme zapísali:

Ak zavedieme , potom by sme upravili vzťah do podoby:

Vedecký zápis čísel pomocou mocnín

Vo vede je zápis pomocou mocnín so základom 10 využívaný vo veľkej miere. Uveďme niekoľko konkrétnych príkladov:


■ stredná vzdialenosť Zeme od Slnka:

■ hmotnosť Zeme:

■ gravitačná konštanta:

Odmocnina

Výraz  je mocninový zápis čísla 100, teda  . Druhou odmocninou čísla 100 by sme nazvali výraz  , ktorý sa rovná 10. Druhá odmocnina nám dáva odpoveď na otázku, aký musel byť základ mocniny, aby sme pri exponente 2 dostali číslo 100.


Uveďme ilustračné príklady:

Druhou odmocninou čísla 4 je 2, , pretože .

Druhou odmocninou čísla 25 je 5, t. j. , pretože .

Druhou odmocninou čísla 64 je 8, t. j. , pretože  .

Treťou odmocninou čísla 8 sú 2, t. j. , pretože .

Treťou odmocninou čísla 27 sú 3, t. j. , pretože .


Ak by sme číslo 10 umocnili na druhú a potom spočítali druhú odmocninu toho čísla, dostali by sme opäť 10. Platí aj opačný výrok, teda:

Podľa výroku d) v podkapitole 1.2 platí:

Teda druhú odmocninu možno stotožniť s mocninou na prevrátenú hodnú čísla dva, teda

Preto predchádzajúci príklad možno zapísať ako:

Po tejto motivácii sformulujeme všeobecný vzorec:

kde sú všeobecne reálne čísla a základ berieme ako kladný (na zjednodušenie).


lustračný príklad

Pre zadanú rovnosť máme vyjadriť:

Úpravou výrazu vyjadríme:

Základ potom dostaneme ako tretiu odmocninu čísla , teda: