Úloha 4: Votrelec vs. pozemšťan

Okolo Slnka obieha kométa, ktorej príslnie je vo vzdialenosti  a odslnie je vo vzdialenosti  Obr. 5. 

Určte:

a) hlavnú a vedľajšiu polos, diaľkovú a číselnú výstrednosť elipsy,

b) periódu kométy,

c) koľkokrát má kométa v príslní väčšiu rýchlosť ako v odslní.

Riešenie: 

Z geometrie elipsy dostávame: ,  , . . Trajektória kométy je (očakávane) veľmi excentrická. b) Tretí Keplerov zákon si zapíšeme v  tvare  pričom za dosádzame číselnú hodnotu v astronomických jednotkách, za  ʹ číselnú hodnotu v rokoch a za násobky hmotnosti Slnka. Pretože riešime pohyb kométy v slnečnej sústave, je automaticky splnené . Tým pádom platí  Ako ale vieme, v danej formulácii zákona sú všetky veličiny bezrozmerné. Číselná hodnota predstavuje, koľkokrát je perióda väčšia než perióda rotácie Zeme okolo Slnka (teda koľkokrát je perióda väčšia než jeden rok). Perióda je teda .

Je možné využiť iný (ale samozrejme ekvivalentný) zápis tretieho Keplerovho zákona. Ak budeme pracovať v SI sústave, zapíšeme tretí Keplerov zákon ako . 

Hmotnosť Slnka poznáme , gravitačná konštanta má hodnotu a hlavná polos je .

Z tretieho Keplerovho zákona si vyjadríme periódu: .

c) Z druhého Keplerovho zákona vyplýva .