Keplerove zákony

Prvý Keplerov zákon

Planéty sa pohybujú po eliptických dráhach málo odlišných od kružníc, v ktorých v jednom spoločnom ohnisku je Slnko.

Z prvého Keplerovho zákona vyplýva, že sa planéty pohybujú po rovinných uzavretých krivkách. Na Obr. 2 je konkrétna trajektória planéty so Slnkom v ohnisku. Bod elipsy najbližší k Slnku sa označuje príslnie (perihélium) a najvzdialenejší bod odslnie (afélium). Vzdialenosti od ohniska sú v poradí značené  . Obr. 2 predstavuje sprievodič planéty (spojnicu planéty a Slnka). Z Obr. 2 možno vyčítať:

Obrázok 2: Trajektória planéty okolo Slnka

Druhý Keplerov zákon

Obsahy plôch opísaných sprievodičom planéty (spojnica planéty a Slnka) sú za rovnaké, ale ľubovoľné časové intervaly rovnako veľké.

Význam druhého Keplerovho zákona vystihuje Obr. 3. Sú zaznamenané dva časové intervaly  , ktorým zodpovedajú po rade plochy opísané sprievodičom  a . Z druhého Keplerovho zákona vyplýva, že ak , potom .

Obrázok 3: K výkladu druhého Keplerovho zákona

Tretí Keplerov zákon

Ak označíme T1 , T2 obežné doby dvoch planét obiehajúcich Slnko a a1 , a2 dĺžky hlavných polosí elíps, platí 

čo môžeme prečítať ako:

pomer druhých mocnín obežných dôb dvoch planét je rovnaký ako pomer tretích mocnín ich hlavných polosí.

V slnečnej sústave dáva prirodzený zmysel, aby sa obežné doby počítali v rokoch a hlavné polosi v astronomických jednotkách (skratka „au“, t. j. astronomical unit). Pre Zem platí:  au, .

Ukážme si na príklade:

Podiel periód nezávisel od jednotiek, v ktorých sme počítali, pretože prevodný koeficient 24 · 3 600 sa v zlomku vykrátil.

Naše úvahy posuňme ešte ďalej a ukážme si, že možno pracovať dokonca v bezrozmerných veličinách. Definujme (bezrozmernú) relatívnu vzdialenosť a relatívnu periódu , ktoré hovoria, o koľko je vzdialenosť, resp. perióda väčšia ako a, resp. T:

kde  je hlavná polos a perióda Zeme.

Ak je a = 1,5 au, potom = 1,5 a pod.