Úloha 10: Ľahký ako... čierna veľdiera!

V tejto úlohe pôjde o odhad hmotnosti čiernej veľdiery 8) Sag A*, ktorá sa nachádza v centre Galaxie 9). Astronómovia dlhé roky pozorovali hviezdu S2 obiehajúcu okolo SGR A*. Ako hviezda obieha čiernu dieru, mení svoju zdanlivú polohu voči hviezdnemu pozadiu. Postupná poloha hviezdy je zaznamenaná v grafe na obrázku dole Obr. 13.

a) S pomocou grafu a tretieho Keplerovho zákona odhadnite hmotnosť Sgr A*. Viete, že hviezda S2 je od Zeme vzdialená 25 900 svetelných rokov a obežná doba hviezdy je 16 rokov. Na zjednodušenie úlohy uvažujte, že obežná rovina je kolmá na rovinu pozorovania (t. j. sklon obežnej roviny k smeru pozorovania (inklinácie) je 90°).

b) Aká je hodnota hmotnosti čiernej veľdiery, ak je skutočná inklinácia i = 133°?

Riešenie: 

a) Uhlovú veľkosť hlavnej polosi odhadneme ako  (z grafu odmeriame ).

Vzdialenosť S2 od Zeme je l = 25 900 sv. rokov = 25 900 ∙ 3 ∙  365,25 ∙ 24 ∙ 3 600 m . Je jednoduché si premyslieť, že , teda . Dosadíme do tretieho Keplerovho zákona , teda hmotnosť čiernej veľdiery je približne . 

b) Pokiaľ nie je obežná rovina kolmá na smer pozorovania, tzn. , pozorujeme projekciu obežnej dráhy do smeru pozorovania. Ak je sklon , je skutočná hodnota hlavnej polosi . Z tretieho Keplerovho zákona potom dostávame: , teda hmotnosť čiernej veľdiery je približne .