Úloha 2: Kreslenie kužeľosečiek pomocou špendlíkov a nite

Cieľ úlohy

Žiaci majú samostatne nakresliť svoje kužeľosečky, pričom sa pri kružnici a elipse pracuje individuálne, ale parabola musí byť nakreslená vo dvojiciach.

Pomôcky

■ milimetrový papier (veľkosť A4)
■ dva väčšie špendlíky (napríklad také, ktoré sa môžu použiť na korkové dosky)
■ podložka, na ktorú sa dá položiť papier a zapichnúť špendlíky
■ ceruzky (4 farby)
■ pravítko
■ trojuholník
■ dve hrubšie nite, jedna s dĺžkou asi 35 – 40 cm, druhá s dĺžkou najmenej 2 m

Metodické pokyny pre učiteľov

Pomocou vyššie uvedených materiálov žiaci môžu postupne nakresliť svoje kužeľosečky. Kužeľosečky rôznych parametrov môžu byť znázornené zmenou vzdialenosti medzi špendlíkmi alebo dĺžky nite.

Pokyny pre žiakov

Ako nakresliť kružnicu:

1. Milimetrový papier položte na kartón.

2. Špendlík zapichneme do stredu milimetrového papiera.

3. Niť s dĺžkou asi 35 – 40 cm zložíme na dve a urobíme uzol tak, aby sme dostali dvojitú niť dlhú cca 15 – 18 cm.

4. Jeden koniec nite omotáme okolo špendlíka a druhý okolo ceruzky tak, ako je to znázornené na obrázku.

5. Niť dobre utiahneme a ceruzkou začneme okolo špendlíka hýbať tak, aby bola niť stále napnutá.

6. Po dokončení plného kruhu okolo špendlíka uvidíme, že sme nakreslili kružnicu.

7. Ak zmeníte dĺžku nite, môžete získať kružnice rôznych veľkostí.

Ako nakresliť elipsu:

1. Na milimetrovom papieri pomocou pravítka pozdĺž dlhej strany papiera odmeriame 5 cm od toho bodu (stred elipsy), kde bol zapichnutý špendlík z predchádzajúcej úlohy, a takto určené dva body vyznačíme ceruzkou.

2. Do týchto dvoch bodov napichneme špendlíky.

3. Niť otočíme okolo dvoch špendlíkov a pomocou ceruzky ju pritiahneme k hornej časti papiera tak, ako je to znázornené na obrázku, panel 1.

4. Udržiavajúc niť napnutú posúvame ceruzku najprv doľava, až kým nebude na úrovni prvého špendlíka, a potom doprava, až kým nebude na úrovni druhého špendlíka. Nakreslili sme polovicu elipsy (panel 2).

5. Ak chceme nakresliť druhú polovicu elipsy, urobíme to tak, že pomocou ceruzky obtiahneme niť až na spodnú časť papiera a znova posúvame ceruzku doľava a doprava. Niť dobre utiahneme a ceruzkou začneme okolo špendlíka hýbať tak, aby bola niť stále napnutá (panel 3).

6. Zopakujte vyššie uvedené kroky, ale špendlíky posuňte o ďalšie 2 cm smerom od stredu von. Je vhodné použiť ceruzku inej farby.

7. Vráťte špendlíky tak, aby boli 5 cm od stredu, skráťte dĺžku nite o asi 1 cm a nakreslite elipsu. Je vhodné použiť ceruzku inej farby.

Kreslenie paraboly pomocou nite a špendlíka:

1. Do stredu milimetrového papiera zapichnite ceruzku.

2. Zaviažte koniec nite, ktorá je dlhá najmenej 2 metre. Jeden koniec nite prehoďte okolo špendlíka. Druhý koniec drží váš spolužiak, ktorý sa už posunul tak ďaleko, že niť je takmer úplne napnutá.

3. Vložte ceruzku z  vnútornej strany nite, blízko konca papiera a  napnite niť. Kreslite smerom k niti aj z druhej strany až ku konci papiera (pozri obrázok). Mali by ste získať parabolu.

Kreslenie hyperboly pomocou nite a špendlíka:

1. Označte dva body na milimetrovom papieri (napríklad každý bude vo vzdialenosti 5 cm od stredu hárku). Pomenujte ich F1 a F2.

2. Lepiacou páskou pevne pripevnite jeden koniec nite o dĺžku cca 10 cm k jednému koncu pravítka.

3. Na druhý koniec pravítka (kolmo na pravítko) dajte lepiacu pásku tak, aby kúsok z nej vytŕčal.

4. Lepiacu pásku, ktorá vytŕča z pravítka, pripevnite špendlíkom k F2.

5. Voľný koniec nite pripevnite špendlíkom k F1 a pravítko umiestnite tak, aby bola nad ohniskom F1 (ako je to znázornené na obrázku – panel 1).

6. Vložte ceruzku do vnútornej časti nite, následne začnite posúvať ceruzku smerom ku koncu pravítka, v ktorom je niť uchopená, a potom ceruzku posúvate smerom nadol k ohnisku (F1) až kým pravítko nedosiahne špendlík v ohnisku F1. Niť by mala byť vždy obtiahnutá (pozri obrázok, panel 2 a 3). Takto sme nakreslili polovicu jedného ramena hyperboly

7. Zrkadlovo otočíme pravítko tak, aby bol pohyb jedného jeho konca opäť zastavený v bode F2, ale tentoraz na spodnej strane F2 a druhý koniec (ten s niťou) na spodnej strane F1. Opakujeme pohyby ceruzky z  bodu 4.6 (zobrazené na paneli 4 obrázka), kým nenakreslíme druhú polovicu tohto ramena (okolo ohniska F1, pozri panel 5).

8. Otočením pravítka tak, aby sme špendlíkom zastavili pohyb konca pravítka bez nite v  bode F1, nakreslíme aj ďalšie rameno hyperboly tak, ako je opísané vyššie (okolo ohniska F2, pozri panely 6 a 7).

Otázky (na ktoré majú žiaci odpovedať až po skončení cvičenia):

1. Ako sa nazývajú body, do ktorých ste umiestnili špendlíky, aby sme nakreslili elipsu?

Odpoveď: Ohniská elipsy.

2. Ako sa nazýva počiatočný bod, od ktorého ste z oboch strán napichli špendlíky?

Odpoveď: Stred elipsy.

3. Ako sa nazýva priamka, ktorá prechádza cez stred a obe ohniská elipsy?

Odpoveď: Veľká os elipsy.

4. Aký sa nazýva priamka, ktorá prechádza stredom elipsy a je kolmá na veľkú os?

Odpoveď: Malá os elipsy.

5. Ktorý parameter elipsy je spojený s jej sploštenosťou?

Odpoveď: Excentricita.

6. Čo sa zmenilo a čo sa nezmenilo, keď ste presunuli ohniská ďalej od stredu?

Odpoveď: Elipsa sa sploštila (excentricita sa zvýšila), menšia os sa skrátila. Veľkosť veľkej osi sa nezmenila.

7. Čo sa zmenilo a čo sa nezmenilo, keď ste skrátili niť v porovnaní s prvou elipsou?

Odpoveď: Rozmery dvoch osí elipsy sa zmenili. Excentricita sa nezmenila.