Úkol 2: Trpasličí planety a jejich trajektorie

Úkol: Urči vzdálenosti trpasličích planetv přísluní a odsluní. Seřaď trpasličí planety vzestupně podle vzdálenosti od Slunce v přísluní a odsluní. Spočítej pro každý objekt součet vzdáleností v přísluní a odsluní. Porovnej výslednou hodnotu s dvojnásobkem hlavní poloosy. 

(Nápověda: Vzdialenosť v príslní je a(1 – e), v odsluní a(1 – e), v odsluní a(1 + e).) 

Řešení:

Většina objektů sluneční soustavy se pohybuje mimo rovinu ekliptiky, ve které obíhá Země kolem Slunce. Oběžná rovina objektu svírá se základní rovinou ekliptiky úhel, který označujeme i, od slova inklinace (sklon trajektorie). Zkusíme započítat vliv sklonu oběžné roviny objektu. Pro tento případ budeme potřebovat goniometrické funkce sinus a kosinus.

Úkol: Urči vzdálenosti trpasličích planet v přísluní a odsluní, pokud je promítneme do roviny ekliptiky a zahrneme sklon jejich oběžných trajektorií. Jak daleko od roviny ekliptiky se trpasličí planety dostanou, pokud se nachází v přísluní nebo odsluní. 

Řešení:

Vzdálenost v přísluní v rovině ekliptiky (pro Ceres):

a (1 – e) cos i = 2,77 (1 – 0,0758) cos 11° au = 2,51 au

Vzdálenost v odsluní v rovině ekliptiky (pro Ceres):
a (1 + e) cos i = 2,77 (1 + 0,0758) cos 11° au = 2,93 au

Vzdálenost od ekliptiky v přísluní (pro Ceres):
a (1 – e) sin i = 2,77 (1 – 0,0758) sin 11° au = 0,49 au

Vzdálenost od ekliptiky v odsluní (pro Ceres):
a (1 + e) sin i = 2,77 (1 + 0,0758) sin 11° au = 0,57 au

Situace je ve skutečnosti složitější (nezahrnuli jsme např. natočení oběžné trajektorie v prostoru, předpokládali jsme, že přísluní a odsluní se nacházejí nejdále od ekliptiky), přesnější výpočty ovšem výrazně převyšují znalosti na úrovni základní školy, proto se spokojíme alespoň s tímto přibližným výpočtem. 

Úkol: Trpasličí planeta Ceres má poloměr 457 km. V Praze jezdí autobus o délce 25 metrů. Kolik autobusů se vejde do průměru trpasličí planety Ceres?nbsp;

Řešení: Průměr Ceres = 2 ∙ poloměr Ceres = 2 ∙ 457 km = 914 km = 914 000 m. Délka autobusu = 25 m. Počet autobusů n = 914 000 / 25 = 36 560 ks. Do průměru Ceres se vejde přes 36 500 autobusů.

Úkol: V této části se pokusíme odhadnout oběžnou rychlost trpasličí planety, která se nachází v hlavním pásu planetek. Pro jednoduchost budeme uvažovat, že se objekt pohybuje po kruhové oběžné trajektorii. 

a) Ceres, dříve se jednalo o největší planetku v hlavním pásu planetek, nyní jde o trpasličí planetu, oběhne okolo Slunce jednou za 4,6 roku. Spočítej, kolik sekund trvá trpasličí planetě Ceres, než dokončí jeden oběh. 

Řešení: 1 rok = 365 dnů ∙ 24 hodin ∙ 60 minut ∙ 60 sekund = 31 536 000 s. Jeden oběh Ceres okolo Slunce trvá 4,6 ∙ 31 536 000 s = 145 milionů sekund. Bylo by možné použít i délku tropického roku (doba mezi dvěma po sobě následujícími průchody pravého Slunce – středu slunečního disku – jarním bodem), který trvá 31 556 925 s, nicméně výsledný počet sekund zaokrouhlený na miliony sekund se nezmění. 

b) Ceres se nachází ve vzdálenosti 2,77 au od Slunce. 1 au je 150 miliónů km. Spočítej vzdálenost trpasličí planety Ceres od Slunce v km.

Řešení: Ceres se nachází ve vzdálenosti 2,77 ∙ 150 000 000 km = 416 milionů km. 

c) Předpokládejme, že Ceres obíhá okolo Slunce po kruhové dráze. Nakresli schématický obrázek, který bude znázorňovat oběžnou trajektorii trpasličí planety. Na obrázku znázorni a označ Slunce, Ceres a poloměr kružnice (oběžné trajektorie). 

Řešení:

d) Použij vzdálenost z části b) a vypočítej, kolik km urazí Ceres při jednom oběhu. (Nápověda: obvod kruhu se vypočítá pomocí vztahu , kde 3,14)

Řešení: Obvod oběžné trajektorie km = 2,6 miliardy km.

Pro srovnání lze uvést, že délka oběžné trajektorie Země je necelá jedna miliarda kilometrů.

e) Použij vztah pro výpočet průměrné rychlosti v = s / t a použitím odpovědí v částech a) a b) vypočítej, jakou rychlostí se Ceres pohybuje okolo Slunce.

Řešení: Průměrná rychlost Ceres okolo Slunce je v = s / t = 2,6 ∙ 10⁹ / 145 ∙ 106 km · s^–1 = 17,9 km · s^–1. Pro srovnání, Země se na své oběžné trajektorii pohybuje průměrnou rychlostí 30 km s^–1.

Úkol: Oběžná rychlost trpasličí planety Pluto 

a) Pluto, dříve se jednalo o planetu, nyní jde o trpasličí planetu, oběhne okolo Slunce jednou za 248let. Spočítej, kolik sekund trvá trpasličí planetě Pluto, než dokončí jeden oběh. 

Rěšení: Jeden oběh trpasličí planety Pluto okolo Slunce trvá 248 ∙ 31 536 000 s = 7,8 miliardy sekund. Bylo by možné použít i délku tropického roku, nicméně výsledný počet sekund zaokrouhlený na desetiny miliard sekund se nezmění. 

b) Spočítej, kolikrát Pluto oběhlo kolem Slunce od svého objevu v roce 1930. 

Řešení: Pluto svůj oběh okolo Slunce od svého objevení dokončí až v roce 2178, takže zatím od svého objevu neoběhlo kolem Slunce ani jednou. Od svého objevu Pluto (k roku 2019) urazilo 36 % celkové oběžné trajektorie. (2019 – 1930)/248 = 0,36. 

c) Pluto se nachází v průměrné vzdálenosti 39,5 au od Slunce. 1 au je 150 miliónů km. Spočítej vzdálenost trpasličí planety Pluto od Slunce v km.

Řešení: Pluto se nachází ve vzdálenost 39,5 ∙ 150 000 000 km = 5,9 miliónov km. 

d) Předpokládej, že Pluto obíhá okolo Slunce po kruhové dráze. Nakresli schématický obrázek, který bude znázorňovat oběžnou trajektorii trpasličí planety. Na obrázku znázorni a označ Slunce, Pluto a poloměr kružnice (oběžné trajektorie). 

Řešení:

e) Použij vzdálenost z části c) a vypočítej, kolik km urazí Pluto při jednom oběhu. (Nápověda: obvod kruhu se vypočítá pomocí vztahu , kde 3,14)

Řešení: Obvod oběžné trajektorie km = 37 miliard km. Pro srovnání lze uvést, že Země urazí na své oběžné trajektorii okolo Slunce necelou jednu miliardu kilometrů. Pluto se ve skutečnosti nepohybuje po kružnici, ale po elipse s výstředností 0,25. Vzorec pro výpočet obvodu elipsy přesahuje náročností učivo základní školy. Chyba určení obvodu elipsy při použití vzorce pro obvod kruhu je v řádu několika procent, pro tento účel je tedy náhrada obvodem kruhu dostatečná.

f) Použij vztah pro výpočet průměrné rychlosti v = s / t a použitím odpovědí v částech a) a e) vypočítej, jakou rychlostí se Pluto pohybuje okolo Slunce.

Řešení: Průměrná rychlost Pluto okolo Slunce je v = s / t = 37 ∙ 109 / 7,8 ∙ 109 km · s–1 = 4,7 km · s^–1. Pro srovnání, Měsíc se na své oběžné trajektorii okolo Země pohybuje průměrnou rychlostí 1 km s^–1.

Úkol: Kdy bude Ceres zapadat? V tomto úkolu budeme předpovídat, kdy zapadne trpasličí planeta Ceres, pokud ji budeme pozorovat pomocí dalekohledu Faulkes Telescope North (FTN) na Havaji. Předpokládejme, že západ objektu je okamžik, kdy bude ve výšce 0° nad obzorem.

Níže uvedená tabulka obsahuje výšku Ceres nad obzorem, jak byla vidět z FTN, pro každý den po dobu 21 dní od 27. 2. 2006. Na první pohled je z dat zřejmé, že se výška Ceres nad obzorem každým dnem postupně snižuje.Kdy dosáhne horizontu?

a) Nakresli graf závislosti výšky Ceres nad obzorem na dnech, přičemž použij data z výše uvedené tabulky. Nakreslenými body prolož přímku.

Řešení:

b) Vypočti sklon přímky a její průsečík s osou y. Za předpokladu, že nejlépe lze body proložit přímkou, jaká je rovnice pro tato data?nbsp;

Řešení: Mezi 1. a 21. dnem (20 dnů) je rozdíl výšky (klesne o) 9°, tzn. sklon přímky je 9°/20 = –0,45°. Průsečík s osou y je 19. Rovnice přímky je ve tvaru y = −0,45x + 19. 

c) Urči, za kolik dní Ceres bude pod obzorem. (Nápověda: Objekt zapadne, pokud je jeho výška nad obzorem 0°.) 

Řešení: Západ Ceres je okamžik, kdy je výška nad obzorem 0°, tzn. y = 0. Řešíme rovnici a hledáme x, pro které platí, že y je rovno 0. Můžeme psát 

0,45x = 19
x = 42 

Ceres zapadne za 42 dní. 

Úkol: Oběžná trajektorie trpasličí planety Pluto je odlišná od oběžných trajektorií planet – výstřednost 0,25, sklon 17°. Výstřednost trajektorií planet se pohybuje od 0,007 (Venuše) až 0,206 (Merkur), přičemž většina planet má výstřednost menší než 0,1. Sklon oběžné trajektorie vůči rovině ekliptiky je u planet v rozsahu 0° (Země, z definice ekliptiky) až po 7° (Merkur). Díky tomu se Pluto dostává v malém úseku (od 7. 2. 1979 až po 11. 2. 1999) své trajektorie ke Slunci blíže než Neptun, pokud si jeho oběžnou trajektorii promítneme do roviny ekliptiky. 

a) Předpokládej, že se Pluto pohybuje po kruhové oběžné trajektorii. Vypočítej, kolik procent času se Pluto nachází ke Slunci blíže než planeta Neptun? Kolik je to dní?nbsp;

Řešení: Oběžná doba Pluto je 248 let. Pluto je blíže mezi lety 1979 až 1999, což je 20 let. S ohledem na přesnost výpočtu postačí počítání na úrovni let, takže 20 : 248 = = 8 %. Mezi 7. 2. 1979 až 11. 2. 1999 uplyne 7 309 dní = 20 let · 365 dní + 5 dnů za přestupné roky (1980, 1984, 1988, 1992 a 1996) + 4 dny (od 7. dne v měsíci do 11. dne v měsíci). 

b) Na modelu trajektorií Neptuna a Pluta se přesvědč, že se Neptun s Plutem nemohou srazit. Vyrob si jednoduchý model trajektorií planety Neptun a trpasličí planety Pluto. Na list papíru formátu A4 narýsuj kružnici s poloměrem 7,5 cm, která bude představovat oběžnou trajektorii Neptunu. Vytvořený kruh vystřihni a na jednom místě prostřihni až do středu kružnice. Na další list papíru si vytvoříš trajektorii Pluta, bude lepší, pokud si na počítači v nějakém programu (např. lze i v textovém editoru) nakreslíš obdélník o stranách 19,8 cm a 19,2 cm. Do něj nakreslíš elipsu, aby se dotýkala všech stran obdélníka. Vyznač čerchovaně obě osy elipsy. Polohu Slunce získáš tak, že nakreslíš půlkružnici okolo středu delší strany obdélníka s průměrem 19,8 cm a najdeš průsečík s delší osou elipsy. Nakonec sestroj kolmici k delší ose elipsy tak, abych procházela Sluncem. Obrázek vytiskni ve správném měřítku na formát A4, trajektorii vystřihni včetně vyznačené kolmice. Oba modely trajektorií do sebe zasuň tak, aby svíraly úhel 17°.

Úkol: Kolik vážíš, závisí na gravitační síle v místě, kde se nacházíš. Níže uvedená tabulka ukazuje, jaká by byla gravitační síla na různých místech ve sluneční soustavě v porovnání s hodnotou (1,00) na zemském povrchu. Pokud na Zemi někdo váží 100 kg, na Měsíci by vážil 17 kg. K této hodnotě se dospěje následujícím způsobem: 100 kg („váha“ na Zemi) násobených 0,17 (gravitační faktor pro Měsíc) = 17 kg. Je nutné si uvědomit, že hmotnost

se na různých místech nemění, zůstává pořád stejná. Pouze se mění tíha, která souvisí

s gravitační silou.

Tvoje hmotnost na Zemi: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ kg

Je nutné si uvědomit, že na plynných planetách a Slunci nelze ve skutečnosti přistát, protože nemají pevný povrch. Seřaď seznam míst podle toho, kde je tvoje „váha“ největší po nejmenší. Na jakém parametru závisí změna tvé „váhy“?nbsp;

Řešení: Slunce, Jupiter, Neptun, Saturn, Země, Venuše, Uran, Merkur, Mars, Měsíc, Pluto, Ceres. Změna závisí na gravitačním faktoru, který je ovlivněn hmotností objektu, jeho rozměrem (gravitační síla) a dobou rotace okolo osy, rozměry objektu (odstředivá síla). 

Úkol: V této úloze si vyzkoušíme, jak hmotnost planety ovlivňuje skok do výšky. 

Postup: 

1. Žáci vytvoří skupiny po třech.
2. Jeden žák ze skupiny drží metrové pravítko svisle k podlaze, přičemž začátek stupnice pravítka se dotýká podlahy.
3. Druhý žák ze skupiny pozoruje stupnici pravítka a zaznamená výšku výskoku třetího žáka ze skupiny.
4. Třetí žák ze skupiny vyskočí do výšky vedle pravítka. Výška výskoku je zaznamenána a opakována celkem třikrát. Ze třech výšek se spočítá průměrná výška výskoku, která se zaznamená do formuláře a bude považována za výšku výskoku na Zemi.
5. Žáci si mezi sebou vymění role, to znamená

Tabulka 1: Výpočet průměrné výšky výskoku na Zemi

6. Pomocí tabulky 2 vypočítej průměrnou výšku výskoku na jiných místech ve sluneční soustavě. 

7. Doplň tabulku 3 tím, že vypíšeš planety, Slunce a trpasličí planetu Pluto a výšku tvého výskoku podle hmotnosti objektu od nejméně hmotného objektu až po nejhmotnější objekt. 

8. Vytvoř sloupcový graf výšky výskoku, přičemž pořadí objektů je vzestupně podle hmotnosti objektu. 

Tabulka 2: Jak výšku výskoku ovlivňuje hmotnost objektu sluneční soustavy

Použij výše uvedené hmotnosti k seřazení objektů sluneční soustavy od nejméně hmotné po nejhmotnější a zapiš do níže uvedené tabulky. Zapiš do tabulky i výšku výskoku u každého vypsaného objektu sluneční soustavy.

Tabulka 3: Pořadí objektů sluneční soustavy podle hmotnosti

Použij data z tabulek výše a vytvoř sloupcový nebo spojnicový graf, který porovná hmotnosti objektů sluneční soustavy a výšku tvého výskoku. Na vodorovné ose seřaď objekty od nejméně hmotného po nejhmotnější.

Řešení

Úkol: Na kterém objektu sluneční soustavy lze vyskočit nejvýše, na kterém lze vyskočit nejméně?nbsp;

Řešení: Nejvýše lze vyskočit na trpasličí planetě Ceres, nejméně na Slunci, nicméně tento objekt nemá pevný povrch, jako v pořadí další plynné planety. Takže by za správnou odpověď mohla být považována Země. 

Úkol: Proč lze vyskočit výše na Merkuru než na Neptunu?nbsp;

Řešení: Na Merkuru na nás působí menší gravitační (resp. tíhová) síla, proto zde můžeme vyskočit výše. Je vhodné upozornit, že Neptun je plynná planeta a nemá pevný povrch. 

Úkol: Pokud bys chtěl/a překonat světový rekord ve skoku do výšky, jaký objekt sluneční soustavy bys vybral/a? Proč? Na jakých objektech sluneční soustavy bys již překonal/a stávající světový rekord ve skoku do výšky?nbsp;

Řešení: Vybral bych trpasličí planetu Ceres nebo Pluto, s ohledem na jejich vzdálenosti od Země bych raději preferoval Měsíc, který je od Země zhruba 384 tisíc km. Rekord by šlo překovat na ostatních kamenných planetách, tzn. na Merkuru, na Venuši i na Marsu.