Úkol 6: Jak velký je Měsíc?

a) Střední vzdálenost Země-Slunce je d = 1 au = 1,496 ⋅ 10⁸ km, poloměr Slunce je R_☉ = 6,955 ⋅ 10⁵ km. Určete úhlovou velikost Slunce pro pozorovatele na Zemi. 

b) Ze znalosti hmotnosti Země M_⊕ = 5,97 ⋅ 10²⁴ kg a doby oběhu Měsíce kolem Země T = 27,3 dní z třetího Keplerova zákona vzdálenost Měsíce od Země. Hmotnost Měsíce pro odhad vzdálenosti neuvažujte. 

c) Protože víte, dochází k částečným i úplným zatměním Slunce, odhadněte skutečné rozměry Měsíce. Ilustrace jevu je na obr. 2.

d) Jaká by byla úhlová velikost Země pro astronauta na Měsíci, když by se Měsíc pohyboval po přesně kruhové dráze? Jak velkou část povrchu Země astronaut vidí (viz obr. 3 a 4)? Výsledek vyjádřete v procentech. Poloměr Země je R_⊕ = 6 378 km.

Nápověda: Část povrchu Země, kterou pozorovatel vidí, odpovídá povrchu kulového vrchlíku. Plocha kulového vrchlíku (bez podstavy) je , kde R je polomeř sféry a v je výška kulové úseče, viz obrázek obr. 4.

Řešení

a) Vyjdeme z přibližného vztahu pro úhlovou velikost:.

Mohli bychom též vyjít z přesného vztahu

 resp. . 

Mohli by sme vyjsť aj z presného vzťahu tg tg . Výsledky jsou samozřejmé stejné, viz. Úloha I.

b) Vyjdeme z 3. Keplerova zákona .

c) Protože dochází k částečným a úplným zatmění Slunce, je úhlová velikost Měsíce srovnatelná s úhlovou velikostí Slunce, tedy .Poloměr Měsíce určíme ze vztahu: R =  . Skutečný poloměr Měsíce je 1 737 km, tedy náš výsledek souhlasí dobře se skutečností.

d) Vyjdeme z přibližného vztahu pro úhlovou velikost: .Z obr. 2 zjevně platí:

.

Buď můžeme výšku kulového vrhlíku spočítat přímo ze zadaných hodnot, nebo z vypočítané hodnoty úhlové velikosti Země. Dosadíme do pomocného vzorce pro plochu kulového vrchlíku . Vzorec pro plochu koule je , proto

pro poměr plochy kulového vrchlíku k celé kouli je: . Astronaut vidí téměř celou jednu stranu Země.

Z poslední rovnice je jasné, že čím bude astronaut dále od Země (vzdálenost přitom

udává hlavní poloosa, protože odpovídá poloměru kruhové orbity), tím bude člen  blíže nulo a astronaut uvidí větší část Země, maximálně však 50%. Bude-li

naopak astronaut těsně nad povrchem Země, bude člen   blízko 1 a poměr  bude téměř nulový.