Úkol 8: Parametry trajektorie planet

V tab. 1 jsou ke každé planetě přiřazeny jejich synodické oběžné doby, jak je naměřil pozemský astronom. Do tabulky doplňte výpočtem siderické oběžné doby planet a odvoďte hlavní poloosy planet.

Tabulka 1: Synodické oběžné doby planet a další parametry

Planeta	Synodická doba [den]	Synodická doba [rok]	Siderická doba [rok]	Hlavní poloosa [au]
Merkur	116
Venuše	584
Mars	780
Jupiter	399
Saturn	378
Uran	370
Neptun	367

Řešení

Planety se kolem Slunce pohybují ve shodném směru, vzájemnou úhlovou rychlost Země a planety dostaneme jako rozdíl jejich úhlových rychlostí: . Z definice úhlové rychlosti dostaneme:

Hlavní poloosu spočítáme z třetího Keplerova zákona:

, kde , .

Tabulka 1- řešení

Planeta	Synodická doba [den]	Synodická doba [rok]	Siderická doba [rok]	Hlavná polos [au]
Merkur	116	88,0	0,241	0,387
Venuše	584	225	0,615	0,723
Mars	780	678	1,88	1,52
Jupiter	399	4320	11,8	5,19
Saturn	378	10800	29,6	9,56
Uran	370	28500	78,0	18,3
Neptun	367	76600	210	35,3

Vyčíslené hodnoty v tabulce se téměř shodují se skutečnými hodnotami, výjimku tvoří Uran a Neptun. Skutečná hodnoty hlavních poloos a period pro Uran jsou: T_♅ = 84,1 let, a♅ = 19,2 au; pro Neptun: T_♆ = 165 let, a_♆ = 30,1 au. Citelnější rozdíl vypočítaných a skutečných hodnot spočívá v podobnosti synodické periody a periody Země kolem Slunce. Pokud bychom chtěli dosáhnout přesnějšího výsledku, museli bychom uvést synodickou periodu na větší počet platných míst. Pokud bychom za synodickou dobu Uranu dosadili T_♅synod = 369,65 dní a Neptunu T_♆synod = 367,49 dní, dostali bychom výsledky T_♅ = 84,1 let, a_♅ = 19,2 au; T_♆ = 164 let, a_♆ = 30,0 au.