Úloha 6: Aký veľký je mesiac?

a) Stredná vzdialenosť Zem – Slnko je d = 1 au = 1,496 ⋅ 10⁸ km, polomer Slnka je d = 1 au = 1,496 ⋅ 10⁸ km, polomer Slnka je R_☉ = 6,955 ⋅ 10⁵ km. Určte uhlovú veľkosť Slnka pre pozorovateľa na Zemi.

b) Zo znalosti hmotnosti Zeme M⊕ = 5,97 ⋅ 10²⁴ kg a doby obehu Mesiaca okolo Zeme M_⊕ = 5,97 ⋅ 10²⁴ kg a doby obehu Mesiaca okolo Zeme T = 27,3 dní odhadnite z tretieho Keplerovho zákona vzdialenosť Mesiaca od Zeme. Hmotnosť Mesiaca pre odhad vzdialenosti neberte do úvahy.

c) Pretože viete, že dochádza k čiastočným aj úplným zatmeniam Slnka, odhadnite skutočné rozmery Mesiaca. Ilustrácia javu je na Obr. 2.

d) Aká by bola uhlová veľkosť Zeme pre astronauta na Mesiaci, keď by sa Mesiac pohyboval po presne kruhovej dráhe? Akú veľkú časť povrchu Zeme astronaut vidí (pozri Obr. 3 a 4)? Výsledok vyjadrite v percentách. Polomer Zeme je R_⊕ = 6 378 km.

Pomôcka: Časť povrchu Zeme, ktorú pozorovateľ vidí, zodpovedá povrchu guľového vrcholíka. Plocha guľového vrcholíka (bez podstavy) je , kde , kde R je polomer sféry , kde R je polomer sféry a v je výška guľovej úseče, pozri Obr. 4.

Riešenie

a) Vyjdeme z  približného vzťahu pre uhlovú veľkosť:.

Mohli by sme vyjsť aj z presného vzťahu

Mohli by sme vyjsť aj z presného vzťahu 

 resp. . 

Mohli by sme vyjsť aj z presného vzťahu tg tg . Výsledky sú samozrejme rovnaké, pozri Úloha I.

b) Vyjdeme z 3. Keplerovho zákona: .

c) Pretože dochádza k čiastočným a úplným zatmeniam Slnka, je uhlová veľkosť Mesiaca porovnateľná s uhlovou veľkosťou Slnka, teda . Polomer Mesiaca určíme zo vzťahu:. Polomer Mesiaca určíme zo vzťahu: . Skutočný polomer Mesiaca je 1 737 km, teda náš výsledok súhlasí dobre so skutočnosťou.

d) Vyjdeme z približného vzťahu pre uhlovú veľkosť: .

Z Obr. 2 zjavne platí: . Z Obr. 2 zjavne platí:

. Z obr. 2 zjavne platí:

.

Buď môžeme výšku guľového vrchlíka spočítať priamo zo zadaných hodnôt, alebo z vypočítanej hodnoty uhlovej veľkosti Zeme. Dosadíme do pomocného vzorca pre plochu guľového vrcholíka . Z Obr. 2 zjavne platí:

.

Buď môžeme výšku guľového vrcholíka spočítať priamo zo zadaných hodnôt, alebo z vypočítanej hodnoty uhlovej veľkosti Zeme. Dosadíme do pomocného vzorca pre plochu guľového vrcholíka

. Vzorec pre plochu gule je .

Z obr. 2 zjavne platí:

.

Buď môžeme výšku guľového vrcholíka spočítať priamo zo zadaných hodnôt, alebo z  vypočítanej hodnoty uhlovej veľkosti Zeme. Dosadíme do pomocného vzorca pre plochu guľového vrcholíka

. Vzorec pro plochu gule je , preto pre pomer plochy guľového vrcholíka k celej guli je:.Z Obr. 2 zjavne platí:

.

Buď môžeme výšku guľového vrcholíka spočítať priamo zo zadaných hodnôt, alebo z  vypočítanej hodnoty uhlovej veľkosti Zeme. Dosadíme do pomocného vzorca pre plochu guľového vrcholíka

. Vzorec pro plochu gule je , preto pre pomer plochy guľového vrcholíka k celej guli je:

.Astronaut vidí takmer celú jednu stranu Zeme.

Z poslednej rovnice je jasné, že čím bude astronaut ďalej od Zeme (vzdialenosť pritom udáva hlavná polos, pretože zodpovedá polomeru kruhového orbitu), tým bude člen

. Z Obr. 2 zjavne platí:

.

. Vzorec pre plochu gule je, preto pre pomer plochy guľového vrcholíka k celej guli je: .

Astronaut vidí takmer celú jednu stranu Zeme. Z poslednej rovnice je jasné, že čím bude astronaut ďalej od Zeme (vzdialenosť pritom udáva hlavná polos, pretože zodpovedá polomeru kruhového orbitu), tým bude člen  bližšie nule a astronaut uvidí väčšiu časť Zeme, maximálne však . Z obr. 2 zjavne platí:

. Buď môžeme výšku guľového vrcholíka spočítať priamo zo zadaných hodnôt, alebo z  vypočítanej hodnoty uhlovej veľkosti Zeme. Dosadíme do pomocného vzorca pre plochu guľového vrcholíka . Vzorec pre plochu gule je , preto pre pomer plochy guľového vrcholíka k celej guli je: . Astronaut vidí takmer celú jednu stranu Zeme. Z poslednej rovnice je jasné, že čím bude astronaut ďalej od Zeme (vzdialenosť pritom udáva hlavná polos, pretože zodpovedá polomeru kruhového orbitu), tým bude člen  bližšie nule a astronaut uvidí väčšiu časť Zeme, maximálne však 50 %. Ak bude astronaut naopak tesne nad povrchom Zeme, bude člen . Z Obr. 2 zjavne platí:

. Buď môžeme výšku guľového vrcholíka spočítať priamo zo zadaných hodnôt, alebo z  vypočítanej hodnoty uhlovej veľkosti Zeme. Dosadíme do pomocného vzorca pre plochu guľového vrcholíka

. Vzorec pre plochu gule je , preto pre pomer plochy guľového vrcholíka k celej guli je: . Astronaut vidí takmer celú jednu stranu Zeme. Z poslednej rovnice je jasné, že čím bude astronaut ďalej od Zeme (vzdialenosť pritom udáva hlavná polos, pretože zodpovedá polomeru kruhového orbitu), tým bude člen  bližšie nule a astronaut uvidí väčšiu časť Zeme, maximálne však 50 %. Ak bude astronaut naopak tesne nad povrchom Zeme, bude člen  blízko 1 a pomer . Z obr. 2 zjavne platí:

. Buď môžeme výšku guľového vrcholíka spočítať priamo zo zadaných hodnôt, alebo z vypočítanej hodnoty uhlovej veľkosti Zeme. Dosadíme do pomocného vzorca pre plochu guľového vrcholíka . Vzorec pre plochu gule je , preto pre pomer plochy guľového vrcholíka k celej guli je: . Astronaut vidí takmer celú jednu stranu Zeme. Z poslednej rovnice je jasné, že čím bude astronaut ďalej od Zeme (vzdialenosť pritom udáva hlavná polos, pretože zodpovedá polomeru kruhového orbitu), tým bude člen  bližšie nule a astronaut uvidí väčšiu časť Zeme, maximálne však 50 %. Ak bude astronaut naopak tesne nad povrchom Zeme, bude člen  blízko 1 a pomer  bude takmer nulový.