Задача 6: Колко голяма е Луната?

a) Средното разстояние между Земята и Слънцето е d = 1 au = 1,496 ⋅ 10⁸ km, радиусът на Слънцето е R_☉ = 6,955 ⋅ 10⁵ km. Определете ъгловия размер на Слънцето за един наблюдател на Земята.

б) Като знаем масата на Земята M_⊕ = 5,97 ⋅ 10²⁴ kg и орбиталния период на Луната около Земята T = 27,3 дни и използвайки третия закон на Кеплер, изчислете разстоянието на Луната от Земята. Пренебрегнете масата на Луната за определяне на разстоянието.

в) Тъй като знаете, че има както частични, така и пълни слънчеви затъмнения, определете истинските размери на Луната. Илюстрация на явлението е показана на Фиг. 23.

г) Какъв би бил ъгловият размер на Земята за астронавт на Луната, ако Луната се движеше по точно кръгова орбита? Каква част от земната повърхност вижда астронавтът (Фиг. 24 и 25)? Изразете резултата като процент. Радиусът на Земята е R_⊕ = 6 378 km.

Съвет: Частта от земната повърхност, която наблюдателят вижда, съответства на повърхността на сферичния ъгъл. Площта на сферичния ъгъл (без основата) е , където R е радиусът на сферата, a v е височината на сферичния сегмент, вж. Фигура 4.

Решение

a) Изхождаме от приблизителното отношение за ъглов размер:.

Можем да изходим и от точната връзка

 респективно. . 

Резултатите, разбира се, са същите, вж. Задача 1.

б) Започваме от Третия закон на Кеплер: .

в) Тъй като има частични и пълни слънчеви затъмнения, ъгловият размер на Луната е сравнима с ъгловия размер на Слънцето, т.е. . Определяме радиуса на Луната от съотношението: . 

Истинският радиус на Луната е 1,737 км, така че резултатът ни съответства на реалността.

г) Изхождаме от приблизителното отношение за ъглов размер: .

От Фигура 20 става ясно, че:

. Можем да изчислим големината на сферичния ъгъл или директно от определени стойности, или от изчислената стойност на ъгловия размер на Земята. Заменяме в спомагателната формула за областта на сферичния ъгъл . Формула за площта на сферата е , затова за съотношението на площта на сферичния ъгъл към цялата сфера важи: . Астронавтът вижда почти една цяла страна на Земята.

От последното уравнение става ясно, че колкото по-далеч астронавтът е от Земята (разстоянието е дадено от голямата полуос, тъй като съответства на радиуса на кръговата орбита), то тогава  членът ще бъде по-близко до нулата и астронавтът ще види по-голяма част от Земята, но максимално 50 %. Ако, напротив, астронавтът е точно над земната повърхност, то членът ще бъде  бъде близо до 1 и съотношението ще бъде  нула.